Расхожее заблуждение.
Путин не от слова путь, а от слова путы (пута, путо*?).
Согласно правилам образования русских фамилий суффикс -ин ставится в тех случаях, когда исходное слово оканчивается на ГЛАСНУЮ букву. Например, Малинин от слова "малина".
Если слово, от которого происходит фамилия, имеет на конце твёрдую согласную, то у фамилии будет суффикс -ов.
Пример: Иван → Иванов.
Если же исходное слово оканчивается на мягкий знак, то у фамилии будет суффикс -ев.
Пример: медведь → Медведев; путь → Путев.
*Прим.
Путо это:
1. Сеть из толстых бечевок, которую накладывают сверху берлоги при охоте на медведя.
Как -то ...медведь- символ России, вроде....